Seismic imaging in the curvelet domain and its implications for the curvelet design

International audienceThis paper is a first attempt towards the migration of seismic data in the curvelet domain for heterogeneous background velocity models. We first explain how to build a simple curvelet decomposition/reconstruction code, based on the use of Fast Fourier Transforms (FFTs). It is directly related to ideas from Candés (Candés et al., 2005), but appears to be slightly more general. We then show how to derive simple operations (image shift, rotation and stretch) directly in the curvelet domain. The basic transforms are needed for subsequent seismic migration. We demonstrate how to interpolate in the curvelet domain, using the Shannon interpolation formula. It appears that the interpolation scheme imposes some specific conditions on the shapes of the filters used for the curvelet decomposition. In particular, the transform has to be redundant. Finally, we combine the basic operations to migrate seismic data in the curvelet domain. The 2‐D common offset section is first decomposed into curvelet coefficients. All coefficients are map‐migrated independently using the notion of direction inherent to curvelets. The final depth section is obtained by performing an inverse curvelet transform. The curvelet migration is applied on a very simple background velocity model but for a complex reflectivity structure. The results are as good as for the Kirchhoff migration, but are obtained by map‐migrating the curvelet coefficients instead of smearing energy along isochrones. In previous papers (Candés and Demanet, 2005; Douma and de Hoop, 2005), the authors had the hope that it would be possible to only consider after map‐migration the nearest coefficient in the curvelet domain. We show that this approach unfortunately does not provide in practice the expected quality for the result. An interpolation in the curvelet domain as developed here is indeed necessary

Seismic Velocity Analysis: What is the Need for a Non-physical Extended Space to Derive a Proper Solution?

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Chapter 5 • Full waveform inversion

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Exploitation de la cohérence locale des données sismiques pour l'imagerie du sous-sol

My research activities deal with seismic imaging, mainly in the context of oil and gas exploration. The objective is to derive quantitative images of the sub-surface such as the P-wave velocity model, from seismic measurements recorded at the surface. In that context, I endeavored to look at seismic data in a different manner. Seismic input gathers are function of the source and receiver positions and the recorded time. Individual traces are usually processed separately, for example in the case of Kirchhoff migration to derive the velocity contrasts at the correct position in the depth domain. For alternative methods, such as reverse-time migration, all traces within a single shot are simultaneously back-propagated from the surface. I propose to select a group of few adjacent traces localized around some time or depth values and to reconsider different imaging processing tasks from this angle. The local aspect is justified in the context of oil and gas exploration with the increasingly dense acquisition surveys, but also with the notion of Fresnel zone. The local coherency of seismic data is tackled through two approaches. Firstly, locally coherent events are simply described in 2D by the position of the central trace, a position within the trace and a slope indicating the local coherency. I demonstrate the feasibility to invert for the low frequency components of the velocity models by picking locally coherent events in the depth migrated section. I also show the equivalence between this approach and slope travel time tomography defined in the unmigrated time data. Secondly, I take into account the signature of the data, in particular the band-limited aspect, with the use of curvelets. More applications become then possible: migration, velocity analysis, sensitivity of the migrated section with respect to the velocity model, and other tasks related to the pre-processing steps such as denoising, multiple prediction, ... In each case, I analyze the advantages and limitations of the notion of locallly coherent events. It appears that the choice of the decomposition scheme, e.g. through curvelets, is crucial for subsequent processing. If for example one needs to compress seismic data, then curvelets are not useful. If on the contrary the objective is to derive how a given migrated section depends on the velocity model used for migration, then curvelets are powerful. More precisely, curvelets are useful to suppress coherent noise, with a flexible decomposition scheme. They almost diagonalize the demigration/migration operator providing the sensitivity of a migrated section with respect to the velocity model. Finally, curvelets are beneficial to exploit the multi-scale aspect of seismic data, e.g. to remove aliased data. I also show the possibility to develop new decomposition and reconstruction schemes such as ``circlets''. As research perspectives, my objective is to go beyond the high frequency approximation for which curvelets are naturally defined. I propose in particular a new formulation for the full waveform inversion, referred as the Differential Full WaveForm Inversion. This method aims at retrieving the sub-surface properties with a local optimization scheme, without the need to derive a precise initial velocity model closed to the solution. More work is needed. This method relies on the local coherency of data and supposes that the signal is well sampled in time and space. Potential applications deal with oil and gas exploration, geotechnics, global and regional seismology.Mes travaux de recherche s'inscrivent dans l'imagerie sismique des premiers kilomètres du sous-sol, en particulier dans le domaine pétrolier. Il s'agit de reconstruire les propriétés de la sub-surface, par exemple la vitesse de propagation des ondes de compression, à partir d'enregistrements en surface de déplacements ou de variations de la pression liés au passage d'un train d'ondes acoustiques ou élastiques. Je me suis attaché, dans ce domaine, à regarder différemment les données sismiques. Les enregistrements sismiques dépendent de la position de source et d'un ensemble de récepteurs, ainsi que du temps d'enregistrement. Ils sont couramment analysés trace par trace, par exemple pour filtrer les données ou bien pour les migrer, c'est-à-dire retrouver en profondeur les perturbations du milieu, typiquement avec des migrations de type Kirchhoff. Dans le cas de la migration dite "reverse-time migration", les points de tir sont vus comme un ensemble : l'information de tous les récepteurs est rétro-propagée depuis la surface jusqu'en profondeur, également pour retrouver les propriétés du milieu. Je propose de considérer des groupes de traces adjacentes, autour d'une fenêtre en temps, et d'examiner différents algorithmes d'imagerie sous cet aspect. L'aspect cohérence locale est justifié dans le domaine pétrolier par les acquisitions actuelles qui sont de plus en plus denses, et aussi par la notion de zone de Fresnel. La cohérence latérale des signaux sismiques est traitée sous deux angles. Le premier donne une vision très épurée : les événements localement cohérents sont décrits en 2D par la position de la trace centrale, une position dans la trace, et une pente qui indique la cohérence. Je montre qu'à partir de ce type d'approche, il est possible de retrouver les grandes longueurs d'onde du modèle de vitesse par analyse de vitesse dans le domaine migré. J'ai pu aussi établir le lien entre cette méthode d'analyse de vitesse et la tomographie de pente. Le second angle d'attaque prend en compte la signature des données sismiques, et en particulier la bande passante limitée. Les applications sont alors beaucoup plus nombreuses : migration, analyse de vitesse, sensibilité de l'image migrée par rapport au modèle de vitesse, et d'autres tâches liées au pré-traitement comme le débruitage, la prédiction des multiples, ... Dans chacun des cas, j'analyse les avantages et limitations de l'utilisation de la cohérence locale. Il s'avère que le choix du code de décomposition en événements locaux (``curvelets'', ...) est étroitement lié à l'application qui en est faite : si l'objectif est de comprimer les données sismiques, alors les curvelets ne sont pas adaptées. S'il s'agit au contraire de savoir comment l'image migrée dépend du choix du modèle de vitesse pris pour la migration, alors les curvelets ont beaucoup d'avantages. Plus particulièrement, les curvelets offrent la flexibilité de la décomposition des données, très utile pour la suppression des bruits cohérents. De plus, elles diagonalisent presque l'opérateur de démigration/migration qui donne la sensibilité de l'image migrée par rapport au choix du modèle de vitesse. Enfin, elles permettent d'exploiter l'aspect multi-échelle des données, avec des applications sur la suppression de l'aliasing. Je montre aussi qu'il est possible de développer d'autres schémas de décomposition et de reconstruction, comme par exemple les ``circlets''. Dans les perspectives de recherche, je tiens à dépasser le cadre asymptotique hautes fréquences dans lequel les curvelets trouvent un cadre naturel. Je propose en particulier une nouvelle formulation du problème d'inversion des formes d'onde (DFWI, Differential Full WaveForm Inversion). Cette méthode se veut générale pour retrouver les propriétés du sous-sol et permettre une optimisation locale, tout en s'affranchissant de la détermination d'un modèle de départ très proche de la solution. Cette idée doit être approfondie. Elle exploite la cohérence locale des données sismiques et suppose que le signal est bien échantillonné en temps et en espace. Les applications sont très nombreuses et touchent le domaine pétrolier, la géotechnique, la sismologie globale et régionale

Data-driven Kirchhoff migration or how to take advantage of the slant stack domain

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Sparsity-Promoting Pseudo-Inverse Born Operator in the Presence of Density Variations: An Efficient MultiParameter Imaging Tool

International audienceAmong different migration algorithms, least-squares reverse-time migration is the preferred choice for quantitative seismic imaging. The applicability of such scheme depends on the derivation of proper pre-conditioners. In the context of extended domain in a pure acoustic media, the pseudo-inverse Born operator is the recommended pre-conditioner, providing quantitative results within a few iterations, but limited to purely velocity variations. Recently, an efficient weighted least-squares approach has been proposed to extend the applicability of the pseudo-inverse Born operator in the presence of density variations. As expected in the case of multi-parameter imaging, the results using this method suffer from crosstalk artifacts. In order to mitigate this issue, we present variable density pseudo-inverse Born operator constrained with $\ell_1$-norm for each model parameter. The fast iterative shrinkage-thresholding algorithm is used to solve the optimization problem. This iterative scheme is based on soft-thresholding method where no wave-based operators are involved. Numerical tests are used to demonstrate the robustness of the proposed method against crosstalk artifacts and sparse shot acquisition geometry

Tomographic migration velocity analysis: application on a 2-D marine data set

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